Текст:Ботин Дмитрий. Задачи (ж. Кукумбер 2005 № 4)
Ботин Дмитрий — Задачи
Художник: Павлова Елена
Задача о тезках Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством или с одинаковой фамилией, но у каждых из двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли так быть? Пешеходная задача Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть? Компотная задача После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков? Задача про метро Метрострой нанял двух землекопов для рытья туннеля. Один из них может за час прокопать вдвое больше, чем другой, а платят по договору каждому одинаково за каждый час работы. Что обойдётся дешевле – совместная работа землекопов с двух сторон до встречи или поочередное рытьё половины туннеля каждым из землекопов? Задача о маршрутах для паука Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче? Ответы и решения Задача о тезках Да, может. Например:
Андрей Васильевич Иванов
Андрей Геннадьевич Петров
Борис Геннадьевич Иванов
Борис Васильевич Петров Пешеходная задача Да. Рассмотрим шесть улиц, выходящих из центра города в разных направлениях (то есть шесть отрезков с общим началом и без других общих точек). Пешеход может, выйдя из центра, пройти каждую улицу туда и обратно. Но, очевидно, пройти по каждой улице ровно один раз невозможно. Можно привести пример и без тупиков: возьмем треугольник, отметим в нем точку и соединим ее с вершинами. Попробуйте сами доказать, что пешеход не сможет обойти эти улицы, пройдя каждую по одному разу. Подсказка (теорема Эйлера): Пусть пешеход смог обойти все улицы некоторого города, пройдя каждую ровно по одному разу. Тогда на каждом перекрестке, кроме, быть может, того, с которого он начал, и того, на котором закончил, сходится четное число улиц. Попробуйте доказать это сами! Компотная задача На одну четверть. Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. А нам надо определить, какую часть половина оставшихся персиков (1/6 всего компота) составляет от оставшегося компота (2/3 компота). Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ – ¼. Задача про метро За один час работы быстрый землекоп выкапывает больше, а платят им одинаково. Значит, метр туннеля, выкопанный быстрым землекопом, обходится дешевле. В варианте до встречи на долю быстрого придется половина туннеля и еще часть, а в другом варианте – только половина. Значит, дешевле копать до встречи. Отметим, что ответ не зависит от того, во сколько именно раз отличаются скорости землекопов. Задача о маршрутах для паука Маршруты равны. Заметим, что AD=CD=2, ED=DK=1. Поэтому два прямоугольных треугольника AED и CKD равны. А значит, равны и отрезки AE и CK. Равенство этих отрезков можно также легко заметить, если нарисовать чертеж на клетчатой бумаге – они будут диагоналями равных треугольников размера 2х1. Аналогично, FB=DL. кроме того, EF=KD как стороны квадрата. Поэтому AE+EF+FB=CK+KD+DL.